Nos últimos anos tem havido muito desenvolvimento na área de monóides profinitos livres, principalmente devido ao trabalho de Almeida, Rhodes, Volkov e do orador, entre outros. Nessa palestra falaremos das resoluções dos problemas antigos seguintes: 1. e verdade que qualquer elemento de ordem finita num monóide profinito livre e um idempotente? 2. e verdade que um subgrupo fechado de um monóide profinito livre e um grupo profinito projectivo? 3. e verdade que o subgrupo máximo do ideal mínimo de um monóide profinito livre e um grupo profinito livre? Parte desse trabalho foi feito em conjunto com Rhodes.